انتگرال گیری به روش تغییر متغیر

فهرست مطالب

مثال از تغییر متغیر
مراحل انجام انتگرال گیری به روش تغییر متغیر
چند تمرین از انتگرال گیری به روش تغییر متغیر

زمان تخمینی مطالعه: 5 دقیقه

روش تغییر متغیر method of substitution یک تکنیک در انتگرال‌گیری است که با تغییر متغیر به ساده‌تر شدن محاسبه انتگرال‌ها کمک می‌کند. این روش شبیه به قاعده زنجیره‌ای در مشتق‌گیری است، اما در جهت معکوس استفاده می‌شود. ایده این است که یک متغیر جدید (معمولاً u) را برای بخشی از تابع اصلی در نظر بگیریم و انتگرال را به فرمی ساده‌تر تبدیل کنیم که راحت‌تر قابل محاسبه باشد.

مثال از تغییر متغیر

بیایید یک مثال را برای درک بهتر مراحل حل کنیم.

\int 2x \cos(x^2) \, dx

\begin{align*}
&\text{Given:} \quad \int 2x \cos(x^2) \, dx \\
&\text{Let} \quad u = x^2 \Rightarrow du = 2x \, dx \\
&\Rightarrow \int 2x \cos(x^2) \, dx = \int \cos(u) \, du \\
&= \sin(u) + C \\
&= \sin(x^2) + C
\end{align*}

مراحل انجام انتگرال گیری به روش تغییر متغیر

قسمتی از تابع را u در نظر میگیریم. کدام قسمت رو بگیریم؟ قسمتی که مضربی از مشتق u در تابع زیر انتگرال وجود داشته باشه.
از طرفین دیفرانسیل میگیریم و dx را بر حسب du مینویسیم.
در انتگرال جایگذاری میکنیم.
انتگرال ساده شده را محاسبه میکنیم و در پایان به جای u قسمتی از تابع که در مرحله اول را که تبدیل به u کرده بودیم جایگزین میکنیم.

در مثال بالا همانطور که میبینیم ابتدا x^2 را برابر متغیر u در نظر گرفتیم. چرا ؟ چون مشتق x^2 یعنی 2x در تار تابع زیر انتگرال وجود داره. پس در نتیجه شد. حالا که معلوم شد u رو کدوم قسمت انتخاب کردیم فقط کافیه که از دو طرف دیفرانسیل بگیریم که اینطوری میشه:

\begin{align*}

&\text{} \quad u = x^2 \Rightarrow du = 2x \, dx \ + C \end{align*}

حالا در گام بعدی فقط کافیه که u رو در انتگرال جاگذاری کنیم:

\begin{align*}
&\Rightarrow \int 2x \cos(x^2) \, dx = \int \cos(u) \, du \\\end{align*}

حالا یک انتگرال ساده شده ی و معمولی داریم کافیه که این انتگرال رو حل کنیم و بعدش u رو جاگذاری کنیم:

\begin{align*}

&\Rightarrow \int 2x \cos(x^2) \, dx = \int \cos(u) \, du \\
&= \sin(u) + C \\
&= \sin(x^2) + C
\end{align*}

به همین راحتی😍

چند تمرین از انتگرال گیری به روش تغییر متغیر

در ادامه چند مثال از انتگرال گیری به روش تغییر متغیر برا تسلط به این مبحث آمده است

مثال یک :

\int \frac{3x^2 - 9}{x^3 - 9x} \, dx

این دیگه چه مثال سختیه😭
یادت باشه که این سوالا ظاهرش سخته ولی اگر روند کلی یادت باشه خیلی راحت حل میشه😮
اولین کاری که باید بکنیم اینه که خوب به صورت سوال نگاه کنیم با دقت تمام🫣
عه اینکه صورت کسر مشتق مخرجه ✅
تموم شد کل سوال رو حل کردی فقط کافی بود این رو ببینی حالا که مشتق ی قسمت از تابع انتگرال پیدا شد انتگرال رو از چه روشی حل میکنیم😶‍🌫️
آفرین روش تغییر متغیر حالا که روش رو فهمیدیم روند رو میاریم توی ذهنمون قسمتی که مشتق داره رو میگیریم u بعدش از قسمتی که گرفتیم u دیفرانسیل میگیریم بعدشم جایگذاریو و حالا ی انتگرال معمولی ساده شده رو حل میکنیم بزن قدش 🤌

به همین راحتی. دو تا مثال دیگه هم گذاشتم که مسلط بشی کامل اگه حال کردی یک کامنت هم برای من زیر این پست بذار که بهم انرژی بدی دمت گرم❤️

\begin{align*} &\text{Let } u = x^3 - 9x, \\ &\Rightarrow \frac{du}{dx} = 3x^2 - 9, \quad \text{or} \quad du = (3x^2 - 9) \, dx. \\ &\text{Thus, the integral becomes:} \\ &\int \frac{3x^2 - 9}{x^3 - 9x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du \\ &= \ln |u| + C \\ &= \ln |x^3 - 9x| + C. \end{align*}

مثال دو:

\int \frac{\cos x}{\sqrt{2 + \sin x}} \, dx

پاسخ مثال دوم با انتگرال گیری به روش تغییر متغیر:

\begin{align*} &\text{Let } u = 2 + \sin x, \\ &\Rightarrow \frac{du}{dx} = \cos x, \quad \text{or} \quad du = \cos x \, dx. \\ &\text{Thus, the integral becomes:} \\ &\int \frac{\cos x}{\sqrt{2 + \sin x}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du \\ &= 2\sqrt{u} + C \\ &= 2\sqrt{2 + \sin x} + C. \end{align*}

مثال سه:

\int \frac{18 \tan^2 x \cdot \sec^2 x}{(2 + \tan^3 x)^2} \, dx

پاسخ مثال سوم:

\begin{align*} &\text{Let } u = 2 + \tan^3 x, \\ &\Rightarrow \frac{du}{dx} = 3 \tan^2 x \sec^2 x, \quad \text{or} \quad du = 3 \tan^2 x \sec^2 x \, dx. \\ &\text{Thus, } 18 \tan^2 x \sec^2 x \, dx = 6 \, du, \quad \text{and the integral becomes:} \\ &\int \frac{18 \tan^2 x \sec^2 x}{(2 + \tan^3 x)^2} \, dx = \int \frac{6}{u^2} \, du \\ &= -\frac{6}{u} + C \\ &= -\frac{6}{2 + \tan^3 x} + C. \end{align*}

در نتیجه:

\int \frac{18 \tan^2 x \cdot \sec^2 x}{(2 + \tan^3 x)^2} \, dx = -\frac{6}{2 + \tan^3 x} + C

انتگرال گیری به روش تغییر متغیر