انتگرال گیری به روش جزء به جزء و مثال های عملی

انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء (Integration by Parts) یکی از تکنیک‌های مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است. این روش به ما کمک می‌کند انتگرال‌های پیچیده را به انتگرال‌های ساده‌تر تبدیل کنیم. اساس آن بر قاعده زنجیره‌ای و قوانین مشتق‌گیری است.

فرمول انتگرال گیری به روش جز به جز

قاعده جزء به جزء بر اساس رابطه زیر بیان می‌شود:

\int u \, dv = uv - \int v \, du

u: تابعی که به راحتی مشتق‌پذیر است.

dv: تابعی که بتوان آن را ساده انتگرال گرفت.

بنابراین اگر انتخاب درستی برای u و dv داشته باشیم، حل انتگرال ساده‌تر خواهد شد.🤌

چه زمانی از انتگرال جز به جز استفاده میکنیم

این روش زمانی استفاده میشود که تابع زیر انتگرال به یکی از صورت های زیر باشد:

ضرب چند جمله ای در تابع لگاریتمی یا تابع معکوس مثلثاتی
ضرب چند جمله ای در تابع نمایی
ضرب چند جمله ای در تابع مثلثاتی سینوس و کسینوس

مراحل گام به گام انجام انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء

انتخاب u و dv:

ابتدا تابعی که مشتق‌گیری آن ساده‌تر است به‌عنوان u انتخاب می‌شود. سپس بخش دیگر تابع به‌عنوان dv در نظر گرفته می‌شود.

تابعی که به راحتی مشتق می‌شود را به عنوان u انتخاب کنید.
تابعی که به راحتی می‌توان آن را انتگرال گرفت را به عنوان dv انتخاب کنید.
انتخاب مناسب u و dv کلید موفقیت در این روش است.
ترتیب انتخاب u در انتگرال جزء به جزء:
- اول لگاریتم ها
- دوم توابع مثلثاتی معکوس
- سوم چند جمله ای های جبری
- چهارم توابع مثلثاتی
- ششم توابع نمایی

محاسبه du و v:

با مشتق‌گیری از u مقدار du را پیدا کنید.
با انتگرال‌گیری از dv مقدار v را محاسبه کنید.

جایگذاری در فرمول:

مقادیر به دست آمده را در فرمول اصلی جایگذاری کنید

محاسبه انتگرال باقی‌مانده:

حالا باید انتگرال باقی‌مانده را محاسبه کنید. اگر این انتگرال قابل حل است، آن را حل کنید. در غیر این صورت، ممکن است نیاز به تکرار روش جزء به جزء باشد.

در ادامه با حل چند مثال به بررسی کامل این روش میپردازیم

حل مثال از انتگرال جزء به جزء:

فرض کنید می‌خواهیم انتگرال زیر را محاسبه کنیم:

\int (2x + 1) \arctan x \, dx

گام اول (چطور تشخیص بدیم از انتگرال جزء به جزء باید استفاده کنیم) :

اینجا یک چندجمله‌ای در حال ضرب شدن با یک تابع مثلثاتی هست. حالا سؤال اینجاست که اولین روشی که به ذهن می‌رسه کدومه؟ 🤔
شاید بگید باید از روش تغییر متغیر استفاده کنیم.

اما قبل از هرچیز، یادمون بیاد نکته اصلی این روش چی بود؟
روش تغییر متغیر زمانی جواب می‌ده که یک بخش از تابع، مشتق بخش دیگه باشه. ولی در اینجا شرایط این‌طور نیست؛ نه 2x+12x مشتق xarctanx هست، نه برعکس! 🙄

پس نتیجه می‌گیریم که روش تغییر متغیر به هیچ عنوان جواب نمی‌ده. خب حالا راه‌حل جایگزین چیه؟ ✨
طبیعتاً باید بریم سراغ انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء! 😍

این یعنی شما از سخت‌ترین مرحله عبور کردید 🤯 کافی‌ست فقط فرمول جزء به جزء رو به یاد داشته باشید و بعدش همه‌چیز قدم به قدم ساده می‌شه 😅

گام دوم انتخاب u و dv

با توجه به اولویت بندی ای که در بالا گفتیم arctan(x) را برابر u در نظر میگیریم:

" چرا ؟ خب مشتق arctanx خیلی راحت تر از انتگرالشه ✅ اگه فورمولش رو یادت رفته پایین نوشتم❤️"

\text{Let } u = \arctan x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{1+x^2} \, dx

از آنجایی که این چند جمله‌ای زیر انتگرال ساده است، بنابراین می‌توانیم آن را به راحتی انتگرال بگیریم 😶‍🌫️

dv = (2x + 1) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = x^2 + x

گام سوم : جایگذاری u و dv در فورمول کلی انتگرال جزء به جزء

حالا جایگذاری توی فورمولووووووو😭

\int u \, dv = uv - \int v \, du \\ \int (2x + 1) \arctan x \, dx = (x^2 + x) \arctan x - \int (x^2 + x) \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx

حالا از قیافش معلومه که نیاز داریم تابع توی انتگرال رو ی ساده سازی مشتی بکنیم

گام چهارم ساده سازی کسر در انتگرال جزء به جزء

\begin{align*} &\text{Step 3: Simplify the fraction:} \\ &\quad \frac{x^2 + x}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2} + \frac{x}{1+x^2} \\ &\quad = \frac{(1+x^2)-1}{1+x^2} + \frac{x}{1+x^2} \\ &\quad = \frac{1+x^2}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} + \frac{x}{1+x^2} \\ &\quad = 1 - \frac{1}{1+x^2} + \frac{x}{1+x^2} \\ &\quad = 1 + \frac{x-1}{1+x^2} \\[1mm]\end{align*}

خب حالا بریم دوباره اینو بذاریم توی انتگرالمون:

\begin{align*} &\text{Step 4: Substitute back into the integral:} \\ &\Rightarrow \int (2x + 1) \arctan x \, dx = (x^2 + x)\arctan x - \int \left( 1 + \frac{x-1}{1+x^2} \right) dx \\[1mm]\end{align*}

در نتیجه، همونطور که می‌بینیم تابع زیر انتگرال در واقع جمع دو تابع جداگانه است. به همین دلیل، در این مرحله این دو تابع رو از هم جدا می‌کنیم و سپس هر کدوم رو جداگانه انتگرال می‌گیریم.

گام پنجم : جداسازی انتگرال

\begin{align*} &\text{Step 5: Split the integral:} \\ &= (x^2 + x)\arctan x - \int 1 \, dx - \int \frac{x-1}{1+x^2} dx \\[1mm] &= (x^2 + x)\arctan x - x - \int \frac{x-1}{1+x^2} dx + C \\[1mm]\end{align*}

می‌دونم خیلی طولانی و پیچیده شد 😅 اما واقعیت اینه که انتگرال‌های جزء به جزء معمولاً همین‌طورن. با چند بار تمرین مطمئناً مسلط می‌شی ❤️

گام پایانی حل مثال

حالا می‌رسیم به گام پایانی حل مثال.

در این مرحله، باید دوباره کسر رو ساده‌سازی کنیم تا به یک حالت آشنا برسیم و بتونیم انتگرال رو راحت‌تر حل کنیم.

\begin{align*} &\text{Step 6: Split the last fraction:} \\ &\quad \frac{x-1}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} \\[1mm] &\text{Step 7: Integrate each term:} \\ &\quad \int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \ln|1+x^2| \\ &\text{Step 8: Combine results:} \\ &\Rightarrow \int \frac{x-1}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \ln|1+x^2| - \arctan x \\[1mm]\end{align*}

خب دیگه کارمون تموم شد خداروشکر😅 البته اینم بگم که بعضی وقتا این روند تا ابد ادامه داره و ممکنه مجبور شی دو یا سه بار جزء به جزء بری و آخر سر هم دوباره به همون تابع اولیه برسی.

حالا برای جمع‌بندی، مثال دیگه ای از انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء رو می‌نویسم.

مثال دوم برای تسلط بیشتر روی انتگرال گیری به روش جزء به جزء

\int e^{ax} \cos(bx) \, dx

پاسخ مثال دوم:

\text{Using integration by parts, let } u = \cos(bx) \quad \Rightarrow \quad du = -b \sin(bx) \, dx \\dv = e^{ax} \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \frac{e^{ax}}{a} \\ \int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a} \cos(bx) - \int \frac{e^{ax}}{a} (-b \sin(bx)) \, dx\\ = \frac{e^{ax}}{a} \cos(bx) + \frac{b}{a} \int e^{ax} \sin(bx) \, dx\\ \text{Using integration by parts again:} \\ \int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a} \sin(bx) - \frac{b}{a} \int e^{ax} \cos(bx) \, dx \\ \text{Solving these two equations gives:} \\ \int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C

در نهایت، اگر خوشت اومد و یادگرفتی یک کامنت بذار برام تا انرژی بگیرم❤️

آموزش انتگرال گیری به روش جز به جز

فرمول انتگرال گیری به روش جز به جز

چه زمانی از انتگرال جز به جز استفاده میکنیم